DERIVAR...rectas tangentes a parábola

Es muy frecuente que nos encontremos con ejercicios en los que debemos calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a una curva desde un punto dado.

Antes de leer el enunciado, vamos a recordar que la ecuación de la derivada de una función nos indica el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto. 

Una parábola, en este caso, tiene infinitas rectas tangentes (una por cada punto de la parábola); pero sólo dos de esas rectas pasarán por el punto exterior que nos indican en el enunciado...¿Cómo saber cúales son?

Las rectas que buscamos tienen que cumplir dos condiciones respecto a sus pendientes:

A- Su pendiente debe estar definida como la pendiente entre el punto exterior (Q) y algún punto de la parábola.

B- Su pendiente debe estar definida por la ecuación de la derivada de la parábola.

Las rectas tangentes serán aquellas cuyas pendientes cumplan simultáneamente ambas condiciones, de modo que hemos calculado de forma genérica (sin definir un valor de X) cada condición y las igualaremos.

Los valores de X que obtengamos nos indicarán las ordenadas de los puntos de tangencia, y con ellas tendremos el valor de las pendientes y las coordenadas de un punto: todo lo necesario para sacar la ecuación de las rectas.

Y ya está, en realidad lo único que hemos hecho es escribir la ecuación genérica de las pendientes de las rectas que pasan por Q y por cualquier punto de la parábola. Hay infinitas (una pendiente por cada recta, y una recta por cada punto de la parábola) pero hemos buscado las verdaderamente tangentes a la parábola, es decir, aquellas cuyas pendientes cumplían con la ecuación de la derivada de la parábola.

DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES

Siempre que estudiemos funciones, lo primero que tenemos que aprender es a definir el DOMINIO (y en ocasiones el RECORRIDO) de la función. 

En muchos casos, no nos piden que definamos el recorrido porque resulta un poco redundante, ya que el método es exactamente el mismo que para definir el dominio. La única diferencia entre ambas cosas, es que el dominio está referido a valores de X, mientras el recorrido está referido a valores de Y.

El dominio es básicamente un subconjunto de valores de X para los cuales existe un valor real de Y; es decir, identificar para qué valores de X la función existe y para cúales no.

¿En qué casos f(x) no existe?...cuando alcanza valores infinitos, irracionales o inexistentes.

Vamos a ver cada caso con un ejemplo y así aprendemos a resolverlos por el camino:

- f(x) toma valor infinito: este es el caso de los cocientes (cuando la función está definida por una división entre dos cosas). Cuando un denominador toma valor 0, el cociente es infinito (positivo o negativo dependiendo del signo del numerador) y en ese caso decimos que la función no existe porque no la podemos dibujar. Ejemplos:

- f(x) toma un valor irracional:  este es el caso de los radicales. Cuando la función esté definida por una expresión que contenga un radical (una raíz) debemos despreciar los valores de X para los que el radicando (interior de la raíz) sea negativo, porque en ese caso tendríamos soluciones irracionales y no podemos representarlas. Ejemplo:

- f(x) toma un valor inexistente: este es el caso de los logaritmos. Por valor inexistente me refiero a una incongruencia (algo que no tiene sentido), y eso sucede cuando tenemos un logaritmo (de base positiva) de un valor negativo. Veamos el ejemplo:

Cuando tengamos que definir el RECORRIDO nos encontraremos con el mismo panorama, sencillamente tendremos que aplicar lo anterior a la función f(y).

 Normalmente trabajamos con y = f(x) - lo que significa que el valor de Y está en función del valor de X - pero ahora vamos a trabajar con x = f(y). La función será exactamente la misma, pero su expresión cambia de aspecto.

De la misma manera que antes, habrá valores de Y que fuercen a X a tomar valores infinitos, irreales o inexistentes; y para esos valores diremos que f(y) no existe y los excluiremos del RECORRIDO. Veamos un par de ejemplos: 

INTEGRALES...aprender a usarlas

Las integrales son la herramienta esencial del cálculo infinitesimal para calcular áreas y volúmenes.

Si atendemos a la definición teórica de los libros o de nuestro profesor, antes o después aparecerá la frase "consiste en la suma de infinitos sumandos infinitamente pequeños"- lo que no está mal como trabalenguas, pero...¿qué significa esto?...

Lo mejor es que lo veamos usando un ejemplo; para ello vamos a deducir la fórmula que nos permite calcular el volumen de una pirámide de base cuadrada:

Lo que vamos a hacer consiste en una aproximación...

No sabemos calcular aún el volumen de la pirámide, pero si sabemos calcular el volumen de un paralelepípedo (una de esas cajas que al apilarlas forman un pirámide escalonada). 

Si "descomponemos" la pirámide en cajas apiladas, y calculamos el volumen de esas cajas, tendremos un volumen aproximado al de la pirámide. Resulta evidente que cuantas más cajas pongamos más preciso será el resultado, porque habrá menos huecos sin rellenar.

Bien...¿qué pasa si ponemos muchísimas cajas?...pues que el resultado será exacto porque llenaremos el volumen total de la pirámide. 

Para calcular el volumen de la pirámide tenemos que sumar los volúmenes de todas las cajas...quizás ahora se entienda mejor eso de "integrar consiste en la suma de infinitos sumandos infinitamente pequeños"...porque tenemos que sumar los volúmenes de infinitas cajas, y esos volúmenes van a ser infinitamente pequeños (si hay muchas cajas cada una tendrá muy poca altura y su volumen será ínfimo).

Lo primero es definir la variable respecto a la cual vamos a integrar (vamos a usar x) y sus intervalos de integración. En este dibujo la pirámide aparece dibujada en dos dimensiones como si la viésemos de lado; sobre el eje Y se representa la altura y sobre el eje X la base (los lados).

LOS DIFERENCIALES (dx , dy):  un diferencial es sencillamente un "cachito" de algo. No tienen un valor definido, pero como hemos visto antes, cuanto más pequeño sea el diferencial estamos descomponiendo la pirámide en mas "cajas" y el volumen que calculemos será más preciso. Por eso dy (que es la altura de cada una de las cajas) va a ser ínfimo.

En este caso x va a tomar valores desde 0 hasta l/2 (la mitad del lado), ese es nuestro intervalo de integración. Cuando x tome el valor de 0 estaremos calculando el volumen de la caja de arriba, y cuando tome valor de l/2 pues el de la caja de abajo. 

Una vez tenemos esto claro podremos escribir la integral. Una integral es simplemente un operador matemático que suma todos los resultados de la ecuación que tiene dentro (para cada uno de los valores de la variable dentro del intervalo de integración). En este caso va a sumar los volúmenes de todas las cajas.

Vamos a integrar...

Bueno, pues ese es el volumen de una pirámide de base cuadrada. Ahora vamos a comprobar que el resultado no depende de cómo decidamos colocar la pirámide respecto a los ejes de coordenadas. 

Para eso vamos a hacer lo mismo pero con la pirámide en otra posición...seguiremos usando x como variable, y aunque no varía su intervalo de integración, veremos que si varía la ecuación que introducimos en la integral; pero eso no alterará el resultado...

Todo sigue igual, sólo que ahora el volumen de cada caja tiene una ecuación diferente, pues cambia L...

Efectivamente el resultado se mantiene. Por último vamos a calcular el volumen de la pirámide usando y como variable en lugar de la habitual x. Esto supone un planteamiento completamente nuevo, pero el resultado debe permanecer inalterado...

Ahora todo cambia excepto la relación entre los diferenciales. Aun así, como vamos a integrar respecto de y, tendremos que escribir el diferencial de x (dx) en función del diferencial de y (dy).

En este caso "descomponemos" la pirámide en otras "cajas", que tienen un forma trapezoidal; esto hace que la cosa sea más compleja, pero en esencia estamos haciendo lo mismo que antes. Vamos a ello...

Lo dicho, lo mismo pero más laborioso...en realidad estamos repitiendo la misma operación: escribimos el "volumen genérico" de cada caja y lo expresamos en función de una variable y su diferencial (y-dy en este caso), luego escribimos la integral dentro de el intervalo correspondiente e integramos...

Si lo hacemos bien el resultado es el mismo en cada caso: obtenemos la misma ecuación para el volumen de la pirámide, sin importar la variable elegida o cómo posicionemos la pirámide a la hora de dibujar...eso si, hay que escribir las ecuaciones correctamente en cada caso y no equivocarse al fijar el intervalo de integración.

Espero que os sirva. En la siguiente entrada haremos lo mismo para calcular el volumen de un cono.

OPTIMIZACIÓN...útil e interesante

En los problemas de optimización es donde verdaderamente le podemos sacar provecho a todo esto de las derivadas. Hasta ahora las hemos usado para estudiar las funciones originales pero sin un objetivo concreto más que el propio conocimiento de la función, pero en estos ejercicios le encontraremos un uso práctico.

Lo mejor es que hagamos un ejemplo directamente para conocer de lo que hablamos...

En este caso nos piden que calculemos los lados de un triángulo isósceles, cuyo perímetro es de 30 centímetros, que abarca el mayor área posible.

En un triángulo isósceles hay dos lados de igual longitud y un tercero de distinta longitud. Como tenemos un perímetro limitado a 30 cm sabemos que la suma de todos los lados va a ser 30 cm, pero no sabemos qué longitud debe tener cada lado para que abarque el mayor área posible. Mejor lo vemos gráficamente:

Bien...¿qué tienen que ver las derivadas con todo esto?...pues son la herramienta que tenemos que emplear.

Si encontrásemos la manera de definir el área como una función cuyo valor dependa de una sola variable, podríamos derivar esa función e igualar la derivada a 0, y ver para qué valor la función área es máxima.

Es decir, hacemos depender el área de una sola variable (la base, la altura o un lado del triángulo)...esa función tendrá un máximo que podemos calcular gracias a las derivadas.

El área como sabemos depende de la altura y la base (dos variables), pero están vinculadas entre sí porque tenemos un perímetro fijado, de manera que podemos escribir la ecuación del área con una sola variable. Veamos cómo...

Ahora tenemos una función con una variable, A(l); es decir, el valor del área en función del lado largo del triángulo...y como todas las funciones se puede derivar y calcular sus puntos singulares si los tiene.

Pues bien, para un valor concreto de l esa función tomará su valor máximo, y eso es lo que queremos saber. Para ello derivamos A(l) y lo igualamos a 0...

A resolver ejercicios de este tipo se aprende practicando...como siempre; aquí os dejo un enlace a una web que tiene muchos problemas resueltos: http://www.vitutor.com/fun/5/o_e.html

La resolución es muy escueta, si necesitáis que os lo "traduzcan" ya sabéis donde mirar.

DERIVADAS...utilidades

Cuando calculamos la derivada de una función, solemos hacerlo para estudiar su crecimiento, sus puntos singulares y su concavidad. También resultan imprescindibles para resolver ejercicios de optimización, pero esos los veremos en la siguiente entrada.

Ya sabemos que la función derivada nos indica el valor de la pendiente de una recta tangente (a la función original) en un punto concreto.

Directamente podemos deducir que cuando dicha pendiente sea positiva la función original está ascendiendo, y viceversa.

También es interesante conocer aquellos puntos en los que las rectas tangentes a la curva tienen pendiente nula. Esto sucede en aquellos puntos en los que el valor de la derivada es 0. Cuando esto sucede, la recta tangente es horizontal (plana) y es que la curva ha alcanzado un valor máximo o mínimo. Veamos:

Las funciones senoidales son excelentes para entender esto, pues son fáciles de derivar y muestran claramente los puntos singulares y los tramos de crecimiento y decrecimiento.

Esa el información que nos ofrece una derivada-f´(x)-de la función original f(x). Pero si queremos profundizar un poco más observaremos que cuando una función crece o decrece no siempre lo hace de la misma manera.

A veces lo hace formando una concavidad y otras una convexidad. La diferencia entre ambas depende de el punto de vista desde el que miremos la función, pero generalmente se dice que una función es cóncava cuando forma una depresión, y convexa cuando forma una prominencia.

Para diferenciar entre tramos de concavidad y convexidad es necesario estudiar la segunda derivada; es decir, derivar dos veces seguidas. 

La segunda derivada  presenta también puntos singulares llamados puntos de inflexión. Aparecen en aquellos puntos de la curva para los cuales el valor de la segunda derivada es 0. Estos puntos se paran tramos en los que la función original pasa de ser cóncava a convexa y viceversa.

 Ahora veremos el mismo ejemplo con f(x) = sen x , cuya segunda derivada es f´´(x) = -sen x ...

Aprendido esto vamos a hacer un ejercicio práctico trabajando con la función f(x) = tg x ...

Hasta aquí el tema de las derivadas como herramientas para conocer a fondo sus funciones originales. Esta información tiene varias aplicaciones, pero la más frecuente en el Bachiller es la de resolver ejercicios de optimización... no os los perdáis.

DERIVADAS...saber antes de hacer

Es muy importante que antes de aprender a derivar todo tipo de funciones como máquinas, aprendamos de manera sólida qué es una derivada y para qué nos resulta de utilidad.

Derivar consiste básicamente en transformar una función-f(x)-en otra-f´(x). Esta nueva función f´(x) nos va a aportar información sobre el crecimiento de f(x); es decir, nos va a indicar si la función crece o decrece (sube o baja) y con cuanta celeridad lo hace (con mayor o menor inclinación).

Antes de estudiar las derivadas conviene que repasemos el concepto de pendiente (el mismo que empleamos para escribir rectas de forma explícita o con la ecuación punto-pendiente):

Revisado esto, sabemos que para hacernos una idea del crecimiento de una función nos vale con estudiar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de la misma. Pero es obvio que cuanto más alejados estén esos puntos, la información que obtenemos es menos precisa.

Por otro lado, si los puntos están muy cerca, la pendiente de la recta que los atraviesa nos dirá con mayor exactitud si la curva crece (o decrece) con mayor o menor celeridad, ¿no?...

Pues en eso consiste precisamente derivar: en conocer la pendiente de una recta que une dos puntos de una curva que están infinitamente próximos. Si dos puntos están tan próximos que podemos considerarlos como el mismo punto, entonces esa recta es oficialmente tangente a la curva.

Ya podemos definir en lenguaje matemático lo que es una derivada. Vamos a verlo:

Bueno, definidas teóricamente las derivadas vamos a hacer un ejercicio numérico para ir asentando estos conceptos mientras los aplicamos a un caso práctico. Para ello vamos a coger la función de una parábola, calcularemos la función de su derivada y veremos que pasa:

Espero que con esto tengamos claro qué es una derivada y cómo se deriva de forma genérica. El método de derivación que hemos empleado aquí es poco útil en la práctica pues puede llevar a desarrollos largos y complicados. En su lugar recomiendo que utilicéis las tablas de derivadas que encontraréis en libros de texto o en esta excelente página:  http://www.derivadas.es/tag/tabla-de-derivadas/.

En las siguientes entradas profundizaremos más en la relación entre las funciones y sus derivadas.

RECTAS...nada más sencillo

Vamos a trabajar con rectas en 2 dimensiones. Hay varias maneras de escribir la ecuación de una recta: de forma vectorial, paramétrica, continua, explícita e implícita...todas ellas expresan exactamente lo mismo, pero en algunos casos nos conviene emplear una forma u otra.

En cualquier caso para escribir la ecuación de una recta necesitamos conocer una de estas dos cosas:

- El vector director de la recta y un punto contenido en la recta.

-Dos puntos contenidos en la recta.

ECUACIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS: estas son las formas más sencillas y habituales.

La ecuación explícita también se conoce como la ecuación punto-pendiente. Consiste en escribir la ecuación conociendo la pendiente de la recta y un punto por el que pasa.

Para conocer la pendiente (m) nos vale con saber el vector director de la recta o dos puntos contenidos en ella. Empecemos con el caso de conocer dos puntos:

Cuando conocemos el vector director en realidad ya conocemos la pendiente, pues sabemos que un vector tiene definida su dirección por la pendiente que toma; veamos un ejemplo:

Es importante recordar que cuando trabajamos con vectores para escribir las ecuaciones de una recta, sólo nos importa la dirección del vector, su módulo y sentido son indiferentes. Es decir, da igual si usamos el vector (1,1) o el (1, -1) porque la única diferencia entre ellos es su sentido. Al escribir la ecuación de la recta puede no ser exactamente la misma usando uno u otro, pero serán ecuaciones equivalentes: la recta que describen es la misma.

Bueno, ahora que ya sabemos la pendiente de nuestra recta sólo tenemos que conocer un punto por el que pasa la recta y saber aplicar la fórmula de la ecuación explícita, que es y = mx + n.

De esta fórmula sabemos que:

• X e Y son las coordenadas de los puntos contenidos en esa recta.
•  m es un escalar (en cristiano, un número) que indica el valor de la pendiente.
• n recibe el nombre de término independiente. Se le llama así por la sencilla razón de que está aislado (no se multiplica ni se divide por ninguna variable). 

Como sabemos, podemos dibujar infinitas rectas que tengan la misma pendiente (serán paralelas entre sí); por eso necesitamos saber algún punto en concreto por el que pase la recta cuya ecuación queremos escribir. Ahí entra en juego el término independiente (n), pues tomará diferentes valores dependiendo del punto por el que pase nuestra recta. La cosa va así:

Ya sabemos escribir la ecuación de una recta de forma explícita; pues pasar de eso a la forma implícita es un juego de niños.

La forma implícita consiste en poner todos los términos a la "izquierda" e igualarlos a 0. Aunque parezca una tontería esto tiene sus ventajas, pues al escribir la recta de esta manera podemos ver directamente qué vector es normal a ella (por vector normal entendemos aquél que es perpendicular a la recta y forma un ángulo de 90º con ella). Vamos a verlo continuando con el ejemplo anterior:

Pues esto es todo lo que necesitamos aprender para expresar las rectas de forma explícita e implícita. Hagamos un ejercicio completo como ejemplo: