Ya sabemos que la función derivada nos indica el valor de la pendiente de una recta tangente (a la función original) en un punto concreto.
Directamente podemos deducir que cuando dicha pendiente sea positiva la función original está ascendiendo, y viceversa.
También es interesante conocer aquellos puntos en los que las rectas tangentes a la curva tienen pendiente nula. Esto sucede en aquellos puntos en los que el valor de la derivada es 0. Cuando esto sucede, la recta tangente es horizontal (plana) y es que la curva ha alcanzado un valor máximo o mínimo. Veamos:
Las funciones senoidales son excelentes para entender esto, pues son fáciles de derivar y muestran claramente los puntos singulares y los tramos de crecimiento y decrecimiento.
Esa el información que nos ofrece una derivada-f´(x)-de la función original f(x). Pero si queremos profundizar un poco más observaremos que cuando una función crece o decrece no siempre lo hace de la misma manera.
A veces lo hace formando una concavidad y otras una convexidad. La diferencia entre ambas depende de el punto de vista desde el que miremos la función, pero generalmente se dice que una función es cóncava cuando forma una depresión, y convexa cuando forma una prominencia.
Para diferenciar entre tramos de concavidad y convexidad es necesario estudiar la segunda derivada; es decir, derivar dos veces seguidas.
La segunda derivada presenta también puntos singulares llamados puntos de inflexión. Aparecen en aquellos puntos de la curva para los cuales el valor de la segunda derivada es 0. Estos puntos se paran tramos en los que la función original pasa de ser cóncava a convexa y viceversa.
Ahora veremos el mismo ejemplo con f(x) = sen x , cuya segunda derivada es f´´(x) = -sen x ...
Aprendido esto vamos a hacer un ejercicio práctico trabajando con la función f(x) = tg x ...
Hasta aquí el tema de las derivadas como herramientas para conocer a fondo sus funciones originales. Esta información tiene varias aplicaciones, pero la más frecuente en el Bachiller es la de resolver ejercicios de optimización... no os los perdáis.
