Lo mejor es que hagamos un ejemplo directamente para conocer de lo que hablamos...
En este caso nos piden que calculemos los lados de un triángulo isósceles, cuyo perímetro es de 30 centímetros, que abarca el mayor área posible.
En un triángulo isósceles hay dos lados de igual longitud y un tercero de distinta longitud. Como tenemos un perímetro limitado a 30 cm sabemos que la suma de todos los lados va a ser 30 cm, pero no sabemos qué longitud debe tener cada lado para que abarque el mayor área posible. Mejor lo vemos gráficamente:
Bien...¿qué tienen que ver las derivadas con todo esto?...pues son la herramienta que tenemos que emplear.
Si encontrásemos la manera de definir el área como una función cuyo valor dependa de una sola variable, podríamos derivar esa función e igualar la derivada a 0, y ver para qué valor la función área es máxima.
Es decir, hacemos depender el área de una sola variable (la base, la altura o un lado del triángulo)...esa función tendrá un máximo que podemos calcular gracias a las derivadas.
El área como sabemos depende de la altura y la base (dos variables), pero están vinculadas entre sí porque tenemos un perímetro fijado, de manera que podemos escribir la ecuación del área con una sola variable. Veamos cómo...
Ahora tenemos una función con una variable, A(l); es decir, el valor del área en función del lado largo del triángulo...y como todas las funciones se puede derivar y calcular sus puntos singulares si los tiene.
Pues bien, para un valor concreto de l esa función tomará su valor máximo, y eso es lo que queremos saber. Para ello derivamos A(l) y lo igualamos a 0...
A resolver ejercicios de este tipo se aprende practicando...como siempre; aquí os dejo un enlace a una web que tiene muchos problemas resueltos: http://www.vitutor.com/fun/5/o_e.html
La resolución es muy escueta, si necesitáis que os lo "traduzcan" ya sabéis donde mirar.
