RECTAS...nada más sencillo

Vamos a trabajar con rectas en 2 dimensiones. Hay varias maneras de escribir la ecuación de una recta: de forma vectorial, paramétrica, continua, explícita e implícita...todas ellas expresan exactamente lo mismo, pero en algunos casos nos conviene emplear una forma u otra.

En cualquier caso para escribir la ecuación de una recta necesitamos conocer una de estas dos cosas:

- El vector director de la recta y un punto contenido en la recta.

-Dos puntos contenidos en la recta.

ECUACIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS: estas son las formas más sencillas y habituales.

La ecuación explícita también se conoce como la ecuación punto-pendiente. Consiste en escribir la ecuación conociendo la pendiente de la recta y un punto por el que pasa.

Para conocer la pendiente (m) nos vale con saber el vector director de la recta o dos puntos contenidos en ella. Empecemos con el caso de conocer dos puntos:

Cuando conocemos el vector director en realidad ya conocemos la pendiente, pues sabemos que un vector tiene definida su dirección por la pendiente que toma; veamos un ejemplo:

Es importante recordar que cuando trabajamos con vectores para escribir las ecuaciones de una recta, sólo nos importa la dirección del vector, su módulo y sentido son indiferentes. Es decir, da igual si usamos el vector (1,1) o el (1, -1) porque la única diferencia entre ellos es su sentido. Al escribir la ecuación de la recta puede no ser exactamente la misma usando uno u otro, pero serán ecuaciones equivalentes: la recta que describen es la misma.

Bueno, ahora que ya sabemos la pendiente de nuestra recta sólo tenemos que conocer un punto por el que pasa la recta y saber aplicar la fórmula de la ecuación explícita, que es y = mx + n.

De esta fórmula sabemos que:

• X e Y son las coordenadas de los puntos contenidos en esa recta.
•  m es un escalar (en cristiano, un número) que indica el valor de la pendiente.
• n recibe el nombre de término independiente. Se le llama así por la sencilla razón de que está aislado (no se multiplica ni se divide por ninguna variable). 

Como sabemos, podemos dibujar infinitas rectas que tengan la misma pendiente (serán paralelas entre sí); por eso necesitamos saber algún punto en concreto por el que pase la recta cuya ecuación queremos escribir. Ahí entra en juego el término independiente (n), pues tomará diferentes valores dependiendo del punto por el que pase nuestra recta. La cosa va así:

Ya sabemos escribir la ecuación de una recta de forma explícita; pues pasar de eso a la forma implícita es un juego de niños.

La forma implícita consiste en poner todos los términos a la "izquierda" e igualarlos a 0. Aunque parezca una tontería esto tiene sus ventajas, pues al escribir la recta de esta manera podemos ver directamente qué vector es normal a ella (por vector normal entendemos aquél que es perpendicular a la recta y forma un ángulo de 90º con ella). Vamos a verlo continuando con el ejemplo anterior:

Pues esto es todo lo que necesitamos aprender para expresar las rectas de forma explícita e implícita. Hagamos un ejercicio completo como ejemplo: